傅里叶—剩余类恒等式（FourierResidueIdentity）

摘要

FourierResidueIdentity 是傅里叶—剩余类恒等式（Fourier-Residue Identity，FRI）的流式实现。它把收益率自相关拆分为方向（符号）通道和幅度通道；两个通道都可以单独检验，且互不冗余。

它回答了标量自相关无法回答的问题：当一个序列表现出均值回归时，可预测的是方向，还是只有变动大小？ 两种情况要求截然不同的交易。方向反转意味着“下跌一天后做多”；仅幅度反转意味着“预计明日波动较小，但方向未知”——这是波动率信号，不是方向信号，对它进行逆势方向下注完全没有统计依据。

源论文中最能说明问题的事实是：SPY 的一阶滞后自相关为 \(\hat\rho(1)=-0.081\)，低于零达 \(7.4\) 个标准误——这是实证股票金融研究中最显著的规律之一。然而，同一数据上的 FRI 符号检验却得到 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)（\(p=0.11\)）。知道 SPY 昨天下跌，基本不能帮助判断它今天会上涨还是下跌。反弹没有方向。

参考文献

V. Portnaya，《The Bounce Has No Direction: Sign, Magnitude, and the Microstructure of Equity Return Predictability — Fourier-Residue Identities, Fejér Sums, and Evidence from US Equity and Cross-Asset Markets, 1993–2026》，arXiv:2606.29591（2026 年 6 月）。

更新 API

out = rtta.FourierResidueIdentity().update(close)

# 与 OHLC 兼容的重载（忽略 open/high/low）
out = rtta.FourierResidueIdentity().update(open, high, low, close)

indicator = rtta.FourierResidueIdentity()
indicator.advance(close)          # 无返回值
out = indicator.last()
indicator.reset()

batch = rtta.FourierResidueIdentity().batch(close_array)

构造参数：

参数	默认值	作用
`max_lag`	`8`	跟踪的滞后阶数 \(M\)；必要时自动增大，以覆盖 `horizon - 1` 和 `test_lag`
`horizon`	`2`	方差比期限 \(q\)
`test_lag`	`1`	标量输出所报告的滞后阶数 \(m\)
`span`	`512.0`	以观测数计的 EWMA 记忆长度
`median_window`	`256`	定义 \(k=4\) 分桶边界的 \(\lvert r\rvert\) 中位数滚动窗口
`entry_z` / `exit_z`	`2.0` / `1.0`	`signal` 对符号通道证据采用的迟滞阈值
`fillna`	`True`	预热期间返回 `0` 还是 `NaN`

输出

字段	含义
`rho`	标量自相关 \(\hat\rho(m)\)
`rho_sign`	符号通道 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)
`rho_magnitude`	幅度通道 \(\operatorname{Re}\gamma_{1,4}(m)\)
`z_rho`	`rho` 的 Bartlett \(z\) 值
`z_sign`	`rho_sign` 的二项分布 \(z\) 值
`directional_share`	\(\lvert z_{\text{sign}}\rvert/(\lvert z_{\text{sign}}\rvert+\lvert z_\rho\rvert)\)
`elliptical_ratio`	`rho_sign` 除以其高斯基准（见下文）
`variance_ratio`	\(\mathrm{VR}(q)\)
`variance_ratio_sign`	方向通道 \(\mathrm{VR}_2(q)\)
`variance_ratio_magnitude`	幅度通道 \(\mathrm{VR}_4(q)\)
`z_variance_ratio`	Lo–MacKinlay 异方差稳健 \(z^*\) 值
`persistence`	半样本比率 \(R_N\)
`signal`	由符号通道显著性把关的 `-1` / `0` / `+1` 信号
`score`	\([-1,1]\) 范围内的连续方向分数
`magnitude_forecast`	条件期望 \(\mathbb E\lvert r_{t+1}\rvert\)

工作原理

Fejér / 方差比恒等式

Lo–MacKinlay 方差比具有精确的自相关表示（命题 2.2）：

\[\mathrm{VR}(q) \;=\; 1 + 2\sum_{m=1}^{q-1}\Bigl(1 - \tfrac{m}{q}\Bigr)\hat\rho(m) \;=\; 1 + 2\,\mathcal{C}_q\]

Fejér 权重 \(w_m=1-m/q\) 随滞后阶数线性递减，并在滞后 \(q\) 处降为零，因此给微观结构主要所在的短滞后赋予最大权重。

FRI 分解

把每个收益率编码成一个 \(k\) 元符号 \(s_t\in\{0,\dots,k-1\}\)，并计算循环群 \(\mathbb Z/k\mathbb Z\) 的特征标（定义 2.4）：

\[\gamma_{A,k}(m) \;=\; \frac{1}{N-m}\sum_t \omega^{A(s_t - s_{t+m})}, \qquad \omega = e^{2\pi i/k}\]

符号通道（\(k=2\)）。 令 \(s_t=\mathbb1[r_t>0]\)、\(\omega=-1\)。连续两个符号相同时特征标为 \(+1\)，不同时为 \(-1\)，从而化为闭式表达（命题 2.5）：

\[\gamma_{1,2}(m) \;=\; 2p_{m,0} - 1 \;=:\; \hat\rho_{\mathrm{sign}}(m)\]

其中，\(p_{m,0}\) 是相隔 \(m\) 期的收盘价位于零轴同一侧的概率。在随机游走原假设下，\(p_{m,0}=\tfrac12\)。这是一个不含幅度信息的方向依赖检验：正值表示动量，负值表示真正可逆势交易的方向反转。

幅度通道（\(k=4\)）。 以 \(\lvert r\rvert\) 的中位数为界，把收益率分入有符号的大小阶梯 \(\{\text{大跌},\text{小跌},\text{小涨},\text{大涨}\}=\{0,1,2,3\}\)，并取 \(A=1\)、\(\omega=i\)。它衡量的是大小分桶是否持续，而不受方向是否一致的影响。

分别对每个通道应用 Fejér 恒等式，可得到 \(\mathrm{VR}_2(q)\) 和 \(\mathrm{VR}_4(q)\)（公式 5）。两个通道并不存在嵌套关系：一个具有符号动量但没有幅度聚集的序列会有 \(\mathrm{VR}_2>1\)、\(\mathrm{VR}_4\approx1\)，反之亦然。

各种机制的通道特征

机制	符号 \(\mathrm{VR}_2\)	幅度 \(\hat\rho(1)=-0.081\)0	滞后范围
买卖价反跳	\(\hat\rho(1)=-0.081\)1	\(\hat\rho(1)=-0.081\)2	仅滞后 1
非同步交易	\(\hat\rho(1)=-0.081\)3	\(\hat\rho(1)=-0.081\)4	滞后 1–3
做市商库存	\(\hat\rho(1)=-0.081\)5	\(\hat\rho(1)=-0.081\)6	滞后 1–2
逆向选择	\(\hat\rho(1)=-0.081\)7	\(\hat\rho(1)=-0.081\)8	滞后 2–5
部分价格调整	\(\hat\rho(1)=-0.081\)9	\(7.4\)0	滞后 2–7
波动率聚集	\(7.4\)1	\(7.4\)2	所有滞后

只有 \(7.4\)3 的机制才能作方向交易。

子样本持久性

半样本比率（定义 2.6）回答检测到的偏离能否在样本外继续存在：

\[G_N = \max_{1\le m\le M}\lvert\hat\rho_N(m)\rvert, \qquad R_N = G_{N/2}\,/\,G_N\]

在 IID 噪声下，\(7.4\)4；存在真实序列依赖时，\(7.4\)5（命题 2.7）。样本减半会把噪声最大值放大 \(7.4\)6，却几乎不会改变结构性最大值。

流式形式

论文使用全样本估计；本实现则是内存有界的在线估计。样本均值替换为跨度为 span 的去偏 EWMA（因此早期更新的表现类似扩展样本，而不是有偏斜坡），并以有效样本量 \(7.4\)7 替代 \(7.4\)8。

persistence 通过另一个跨度减半的并行估计器计算，这是 \(7.4\)9 构造的流式对应形式。它只在 span 有限时有意义；若跨度实际上无限，两个估计器会重合，比率退化为 1。

z_variance_ratio 使用 Lo–MacKinlay M2 统计量，其中 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)0 采用标准的 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)1 归一化，因此在 IID 原假设下 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)2 会化为 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)3。股票日收益率具有显著的 GARCH 效应；同方差 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)4 检验在名义 5% 水平下会以 10–12% 的比例过度拒绝，而稳健 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)5 能保持 5% 的检验尺寸。

椭圆分布基准（论文之外的扩展）

符号通道并非与 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)6 毫无关系——它具有可预测的原假设基准。对于二元正态变量对，Grothendieck 恒等式给出：

\[\mathbb{E}[\operatorname{sgn}X \operatorname{sgn}Y] = \tfrac{2}{\pi}\arcsin\rho\]

因此，任何自相关为 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)7 的椭圆分布过程都必然表现出大约 \(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)8 的符号通道。elliptical_ratio 用观测到的 rho_sign 除以该基准，得到一个不受尺度影响、原假设值为 1 的诊断量：

\(z_{\mathrm{sign}}=-1.59\)9——该自相关的方向性，与具有相同 \(p=0.11\)0 的高斯过程完全相符。
\(p=0.11\)1——可预测性仅由幅度承载。

这一点很重要，因为它进一步精确化了论文自身的结论。模拟的纯 Roll 价差反跳在此处得到 0.95，而不是 0——反跳确实会泄漏到符号通道，因为对近高斯数据而言，符号相关被 \(p=0.11\)2 所约束。SPY 真正反常之处是，其 \(p=0.11\)3 组合只得到 0.34：方向性远低于任何具有该 \(p=0.11\)4 的椭圆分布过程。反转集中在主导协方差的大幅波动中，而普通交易日的方向仍像抛硬币。

只有当标量 ACF 本身可以检测到（\(p=0.11\)5 较大）时，才应解读 elliptical_ratio；当 \(p=0.11\)6 太接近零而使比率不稳定时，返回 NaN。

递推过程

状态包括：前一收盘价；存放最近 \(p=0.11\)7 个收益率及其符号和 \(p=0.11\)8 编码的环形缓冲区；\(p=0.11\)9 的滚动中位数；用于 \(M\)0、\(M\)1、\(M\)2、\(M\)3 的去偏 EWMA 对 \(M\)4；以及每个滞后 \(M\)5 的 EWMA：\(M\)6（交叉乘积）、\(M\)7（符号一致性）、\(M\)8（幅度特征标的实部）、\(M\)9（\(q\)0 交叉乘积）和 \(q\)1（四次项，用于 \(q\)2）。另有一组跨度减半的 \(q\)3 并行运行，以计算 \(q\)4。

每个去偏 EWMA 按 \(q\)5、\(q\)6 累积，并报告 \(q\)7。

\(q\)8；\(q\)9，取 \(m\)0；\(m\)1；由 \(m\)2 得出编码 \(m\)3。
对 \(m\)4，与环形槽位 \(m\)5 中的 \(m\)6 配对：把 \(m\)7 推入 \(m\)8；把 \(m\)9 推入 \(k=4\)0；通过 \(k=4\)1 的四项查找表，把 \(k=4\)2 推入 \(k=4\)3；把 \(k=4\)4 推入 \(k=4\)5；把 \(k=4\)6 推入 \(k=4\)7。
把 \(k=4\)8 推入全局矩 EWMA，再推入环形缓冲区。
\(k=4\)9；\(\lvert r\rvert\)0；\(\lvert r\rvert\)1；\(\lvert r\rvert\)2。
\(\lvert r\rvert\)3；\(\lvert r\rvert\)4；\(\lvert r\rvert\)5。
对滞后 \(\lvert r\rvert\)6 应用 Fejér 权重，得到 \(\lvert r\rvert\)7、\(\lvert r\rvert\)8、\(\lvert r\rvert\)9；根据 \(\hat\rho(m)\)0 累积 \(\hat\rho(m)\)1。
\(\hat\rho(m)\)2 和 \(\hat\rho(m)\)3 分别是完整跨度与半跨度集合上 \(\hat\rho(m)\)4 的运行最大值；\(\hat\rho(m)\)5。
分数 \(\hat\rho(m)\)6；将 \(\hat\rho(m)\)7 与 entry_z / exit_z 比较以启用或停用信号；启用时输出带符号分数。

每次更新的时间复杂度为 \(\hat\rho(m)\)8，其中 \(\hat\rho(m)\)9max_lag（默认 8），并且具有因果性。滚动中位数通过 nth_element 计算，时间复杂度 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)0，是主要开销；其临时缓冲区会在预热期间达到完整尺寸，此后不再重新分配，因此稳态热路径不分配内存。若 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)1 的分桶边界不需要这么长的历史，可减小 median_window。

交易解读

只有当符号通道本身超过 entry_z 时，signal 才非零，并在 exit_z 处采用迟滞：

rho_sign < 0 且显著 → 方向与 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)2 的符号相反（逆势）。
rho_sign > 0 且显著 → 顺着该符号（动量）。
其他情况 → 0，无论 rho 本身有多显著。

即使方向没有统计依据，magnitude_forecast 仍保留有统计依据的内容：它是下一期绝对收益率的条件预测，可用于波动率头寸规模、跨式/宽跨式时机选择，或调整 Delta 对冲账簿的风险敞口。

可以按下表综合解读两个通道：

`z_rho`	`z_sign`	解读
大	大，且同号	存在真正的方向依赖——交易方向
大	小	只有幅度——调整头寸规模，不要押注方向
小	大	不同幅度相互抵消，使标量 ACF 无法看到方向模式
小	小	没有可利用的结构

本指标不能做到什么

必须准确理解符号通道把关的局限。模拟一个纯 Roll 价差反跳（鞅式有效价格、IID 成交方向、半价差 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)3），会产生 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)4，同时产生 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)5，且 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)6——符号通道极其显著。因此，signal 会在模拟的买卖价反跳上触发；它不是反跳过滤器。仅凭收盘价计算的任何量都不可能成为这种过滤器，因为观测序列确实会反转——真正使反跳不可交易的是穿越价差所付出的成本，而价格数据中并没有这个信息。

符号通道真正提供的是这种分离本身：当 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)7 很大而 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)8 不大时，可以确定普通 K 线的方向就像抛硬币，唯一有依据的操作是调整规模。真实 SPY 属于这种情况；模拟的 Roll 价差反跳则不是。

低 elliptical_ratio 的可操作含义在于指出优势位于哪里。在模拟的幅度承载型反转中（elliptical_ratio = 0.37），只在波动超过中位数后采取逆势仓位，交易 K 线数量减半，却保留 97% 的毛损益，单根 K 线优势几乎翻倍。在均匀方向反转中（elliptical_ratio = 1.00），同样的限制只能保留 78%。低比率告诉你应把风险集中在大幅波动上，而不是每根 K 线都交易。

注意事项

max_lag 会自动增大，以同时覆盖 horizon - 1 与 test_lag，因此即使 max_lag 设置过小，也不会读出环形缓冲区边界。
即使 \(\gamma_{1,2}(m)=2p_{m,0}-1\)9 可以忽略不计，三阶滞后符号通道仍值得关注：论文发现，在标量 ACF 给出 \(\operatorname{Re}\gamma_{1,4}(m)\)0 的 SPY 数据上，\(\operatorname{Re}\gamma_{1,4}(m)\)1（\(\operatorname{Re}\gamma_{1,4}(m)\)2）——这是标准检验看不到的部分价格调整通道。设置 test_lag=3 即可读取它。
非有限或非正价格会被拒绝，且不会破坏估计器状态；下一个有效观测可以正常继续处理。